5.5
Nilai Maksimum atau Minimum suatu Fungsi
Definisi 5.5.1.
- Jika $f(x_0)\geq f(x)$ untuk setiap $x$ dalam domain $f$, maka $f(x_0)$ disebut nilai maksimum absolut atau secara singkat disebut nilai maksimum dari $f$.
- Jika $f(x_0)\leq f(x)$ untuk setiap $x$ dalam domain $f$, maka $f(x_0)$ disebut nilai minimum absolut atau secara singkat disebut nilai minimum dari $f$.
- Nilai maksimum atau minimum fungsi $f$ disebut nilai ekstrim absolut atau nilai ekstrim. Istilah ekstrim absolut kadang-kadang cukup disebut ekstrim saja.
Teorema 5.5.1.(Teorema Nilai Ekstrim)
Jika sebuah fungsi $f$ kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ maka $f$
mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada $[a,b]$.
Teorema 5.5.2.
Jika suatu fungsi mempunyai nilai ekstrim maksimum atau minimum pada
interval terbuka $(a,b)$ maka nilai ekstrim terjadi pada titik kritis.
- Tentukan titik kritis $f$ dalam $(a,b)$.
- Evaluasi $f$ pada setiap titik kritis dan pada titik ujung $a$ dan $b$.
- Nilai terbesar pada langkah $2$ adalah nilai maksimumnya dan nilai terkecil pada langkah $2$ adalah nilai minimumnya.
- Jika $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ dan $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, maka $f$ mempunyai sebuah minimum tetapi tidak maksimum pada $(-\infty,+\infty)$.
- Jika $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ dan $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, maka $f$ mempunyai sebuah maksimum tetapi tidak minimum pada $(-\infty,+\infty)$.
- Jika $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ dan $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, maka $f$ tidak mempunyai maksimum dan minimum pada $(-\infty,+\infty)$.
- Jika $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ dan $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, maka $f$ tidak mempunyai maksimum dan minimum pada $(-\infty,+\infty)$.
Teorema 5.5.3.
Disaumsikan $f$ kontinu pada interval $I$ dan $f$ mempunyai tepat satu
ekstrim relatif pada $I$ di $x_0$.
- Jika $f$ mempunyai sebuah minimum relatif di $x_0$, maka $f(x_0)$ adalah nilai minimum pada interval $I$.
- Jika $f$ mempunyai sebuah maksimum relatif di $x_0$, maka $f(x_0)$ adalah nilai maksimum pada interval $I$.
Contoh 1 (EAS 2019/2020)
Diberikan fungsi $f(x)=(x-2)^{1/3}$. Tentukan nilai maksimum/minimum
fungsi $f$.
Pembahasan
Pertama-tama, akan dicari titik kritis dari $f$ pada domainnya,
yaitu $(-\infty,+\infty)$. Titik kritis adalah titik di mana
$f'(x)=0$ atau $f$ tidak dapat diturunkan. \begin{align*}
f(x)&=(x-2)^{1/3}\\ f'(x)&=\frac{1}{3}(x-2)^{-2/3}\\
&=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}} \end{align*} Terlihat bahwa $f'(x)$
tidak terdefinisi pada $x-2=0\implies x=2$ atau dengan kata lain
$f$ tidak dapat diturunkan pada $x=2$. Dengan demikian, $f$
memiliki titik kritis pada $x=2$. Selanjutnya, tinjau nilai $f$
untuk $x=2$ dan ujung intervalnya. $$f(2)=(2-2)^{1/3}=0$$
$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}
(x-2)^{1/3}=+\infty$$ $$\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to
+\infty} (x-2)^{1/3}=-\infty$$ Jadi, $f$ tidak memiliki maksimum
dan minimum pada $(-\infty, +\infty)$.
Latihan!
EAS 2024/2025
Dapatkan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x)=x^3-3x^2$ pada
selang $[0,3]$.
Jawab:
EAS 2021/2022
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $$f(x)=\begin{cases}
4x-1,\quad x<1\\ x^2-3x+5,\quad x\geq 1 \end{cases}$$ pada
$\displaystyle \left[\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]$.
Jawab: